130(2024) Soạn và gia hạng một phương trình hợp tích bằng Luật Tam nhất
Chúng ta đã tạm gọi phương trình hợp tích là tổng đại số của hai hay nhiều phương trình tích số.
Trong bài 125(2024) Đại cương về phương trình hợp tích, chúng ta cũng đã biết phương trình hợp tích thường có các dạng tổng quát sau:
(U1)(U2)+(U3)(U4) – 0 => PTHT cấp 2, 2 số hạng
(U1)(U2)+(U3)(U4)+(U5)(U6) – 0 => PTHT cấp 2, 3 số hạng
(U1)(U2)+(U3)(U4)+(U5)(U6)+(U7)(U8) – 0 => PTHT cấp 2, 4 số hạng
(U1)(U2)(U3)+(U4)(U5)(U6) – 0 => PTHT cấp 3, 2 số hạng
(U1)(U2)(U3)+(U4)(U5)(U6)+(U7)(U8)(U9) – 0=> PTHT cấp 3, 3 số hạng
(U1)(U2)(U3)(U4)+(U5)(U6)(U7)(U8) – 0 => PTHT cấp 4, 2 số hạng
Như vậy, qua bài 125(2024), chúng ta chỉ mới biết đến cấp và hạng của phương trình hợp tích, chưa nghe nói gì đến bậc của loại phương trình đó.
Trong bài nầy, TSTH nói lại cho rỏ hơn là phương trình hợp tích có ba khái niệm liên quan, đó là: cấp, hạng và bậc.
Chúng ta tạm gọi:
– Cấp của phương trình hợp tích được xác định bởi số cấu tử của số hạng có nhiều cấu tử nhất.
– Hạng của phương trình hợp tích là số phương trình tích số tạo thành phương trỉnh hợp tích.
– Bậc của phương trình hợp tích tùy thuộc vào bậc của các cấu tử tạo thành phương trình.
Tiếp theo chúng ta bắt đầu soạn và gia hạng một phương trình hợp tích bằng dịnh thức của Luật Tam nhất: (U)(V)+(W1)(U+V+W1) = 0 => (U+W1)(V+ W1) = 0
Và gia hạng phương trình trên bằng cách viết tiếp hai cấu tử của số hạng thứ ba như sau:
(U)(V)+(W1)(U+V+W1)+(W2)(U+V+2W1+ W2 = 0 => (U+W1 +W2)(V+ W1 +W2) = 0
Chúng ta tùy ý chọn ba cấu tử đầu là U,V, W và viết tiếp cấu tử thứ tư bằng tổng của ba cấu tử trước.
Ví dụ: (2x+7)(3x+6) + (4x+5)(9x+18) = 0 => (6x+12)(7x+11) = 0
Chúng ta viết tiếp và cấu tử thứ năm tùy ý, sau lại viết tiếp cấu tử thứ sáu bằng tổng của ba cấu tử trước, ròi tính và viết tiếp két quả ở phần sau mũi tên:
(2x+7)(3x+6) + (4x+5)(9x+18)+(2x+3)(15x+26) = 0 => (8x+15)(9x+14) = 0
Chúng ta cần nhớ là muốn gia hạng nữa thì những cấu tử mang số lẻ(5, 7, 9, 11,…) được tùy ý chọn, những cấu tử chẳn(6, 8, 10,…) phải bằng tổng của ba cấu tử liền trước đó, đúng theo Luật tam nhất.
Trên dây chúng ta vừa soạn một phương trình hợp tích cấp 2 , 2 số hạng, bậc 2 và sau đó gia hạng thành phương trình hợp tích cấp 2, 3 số hạng, bậc 2.
Chúng ta tiếp tục gia hạng thêm để phương trình trên thành 4, 5 số hạng:
(2x+7)(3x+6) + (4x+5)(9x+18)+(2x+3)(15x+26)++(x+4)(18x+33) = 0
=> (9x+19)(10x+18) = 0 => PTHT cấp 2, 4 số hạng, bậc 2.
(2x+7)(3x+6) + (4x+5)(9x+18)+(2x+3)(15x+26)++(x+4)(18x+33)+(3x+1)(22x+38) = 0
=> (12x+20)(13x+19) = 0 => PTHT cấp 2, 5 số hạng, bậc 2.
Về mặt lý thuyết, chúng ta có thể gia hạng thêm nữa để có những phương trình hợp tích cấp 2, bậc 2, có 6, 7, 8,… số hạng, hoặc nhiêu hơn nữa.
Các bạn yêu thích toán học cứ vận dụng thử ba luật TSTH căn bản, nhất là luật tam nhất để thấy rỏ hơn về những lợi ích của chúng trong việc soạn toán.
Khi tiếp cận, vận dụng TSTH các bạn nên lưu ý những điều sau:
Dù soạn bằng cách nào, phương pháp nào, kết quả tìm được, tức phần sau mũi
tên, cũng luôn luôn khả phân, tức là có thể phân tích thành tích số, theo nguyên tắc phương trình bậc n thì kết quả ở phần sau mụi tên cũng phải phân tích thành tích số có n thừa số.
Cứ xem thật kỷ lại ba luật TSTH căn bản các bạn sẽ thấy rỏ hơn đặc tính chung nầy:
1).- Luật Tam nhất:
(U)(V)+(W)(U+V+W)= 0 => (U+W)(V+W) = 0
2).-Luật Đẳng tổng:
Nếu : U1 + U2 = U3 + U4
Ta có : (U1)(U2) — (U3)(U4) = 0 => (U1-U3)(U2-U3) = 0
3).-Luật Đẳng hiệu:
Nếu : U1 – U2 = U3 – U4,
Ta có : (U1)(U2) — (U3)(U4) = 0 => (U1-U3)(U1+U4) = 0
Trên đây những phương trình cấp hai nên cho kết quả cũng phải phân tích được thành hai thừa số.
Như vậy, nếu phương trình thuộc cấp 3, 4, 5,… thì kết quả ở phần sau mũi tên phải phân tích thành tích số có 3, 4, 5,… thừa số.
Trong một bài sau, TSTH sẽ giới thiệu về phương pháp nâng cấp một phương tình hợp tích.
____________________________________________________________________________________________________