162(2025.21) Trực tiếp giới thiệu phương
pháp soạn bốn loại phương trình hợp tích
Như chúng ta đã biết Tốc soạn toán học đã giới thiệu cùng các bạn yêu thích toán học ba Luật TSTH căn bản là Luật Tam nhất, Luật Đẳng tổng và Luật Đẳng hiệu cùng ba loại phương trình hợp tích mang tên của ba luật đó.
Phương trình hợp tích có dạng tổng quát và đơn giãn như sau:
(U1)(U2) + (U3)(U4)=0 (1)
(U1)(U2) – (U3)(U4)=0 (2)
Trong đó, các cấu tử Un có bất kỳ một trị số nào cũng được: một số, một nhị thức bậc nhất
ax+b, một tam thức bậc hai ax2+bx+c,…
Nhìn vào hai dạng phương trình hợp tích tổng quát và đơn giãn trên chúng ta thấy phương trình nào cũng được cấu tạo bởi hai tích số mà chúng ta tạm gọi là hai số hạng của phương hợp tích, đó là:
– (U1)(U2) => Số hạng trước (hay số hạng 1) được cấu tạo bởi hai cấu tử U1 và U2
– (U3)(U4) => Số hạng sau (hay số hạng 2) được cấu tạo bởi hai cấu tử U3 và U4
(Chúng ta cũng có thể gọi cấu tử là tích nhân tử)
Chúng ta còn có thể phân nhóm các cấu tử như sau:
- U1 và U3 => Hai cấu tử tiền vị của hai số hạng, tức là hai cấu tử nằm ở vị trí phía trước , còn gọi là hai cấu tử mang chỉ số lẻ.
- U2 và U4 => Hai cấu tử hậu vị, tức là hai cấu tử nằm ở vị trí phía sau, còn poi là hai cấu tử mang chỉ số chẳn.
- U1và U4 => Hai cấu tử biên vị, tức là hai cấu tử nằm ở vị trí bên ngoài.
- U2 và U3=> Hai cấu tử trung vị, tức là hai cấu tử nằm ở vị trí bên trong.
Tốc soạn toán học cũng đã giới ba loại phương trình hợp tích được lập thành từ ba Luật TSTH căn bản dưới dạng tổng quát bởi các cấu tử U1, U2, U3, U4 như sau đây:
1).- Phương trình Tam nhất:
Khi: U1 U2 U3 U4=U1+U2+U3
=> (U1)(U2)+(U3)(U4)=(U1+U3)(U2+U3)=0 (1.1a)
=>(U1+U3)=0
=>(U2+U3)=0
Chúng ta tạm gọi phương trình tam nhất, hay định thức tam nhất , là phương trình tam nhất được viết theo Un.
———–x———–
**Soan phương trình tam nhất:
Chúng ta dùng định thức tam nhất (1.1a) dưới đây để soạn ra phương trình tam nhất:
(U1)(U2) +(U3)(U1+U2+U3)=0
=>(U1+U3)(U2+U3)=0 (1.1)
=>(U1+U3)=0 (1.1a)
=>(U2+U3)=0 (1.1b)
Giãi hai kết quả nằm sau mũi tên (1.1a, 1.1b) để tìm hai nghiệm của phương trình tam nhất.
Thí dụ 1.1:
Trước tiên chúng ta chọn ba nhị thức bất kỳ U1, U2, U3 và nhị thức U4 bằng tổng của ba nhị thức trước :
U1=3x+2
U2=4x+5
U3=2x+ 3
U4=9x+ 10
Thay những trị số Un vào định thức tam nhất (1.1a) để có phương trình tam nhất sau:
(3x+2)( 4x+5) +(2x+ 3)( 9x+ 10)=(5x+5)( 6x+ 8)=0 (1.1)
=>(5x+5)=0 (1.1a)
=>(6x+ 8)=0 (1.1b)
Giãi hai kết quả nằm sau mũi tên (1.1a, 1.1b) chúng ta sẽ tìm được hai nghiệm của phương trình tam nhất là: x1= -1 ; x2=-4/3.
Thí dụ 1.2:
Trước tiên chúng ta chọn ba nhị thức bất kỳ U1, U2, U3 và nhị thức U4 bằng tổng của ba nhị thức trước :
U1=4x+5
U2=2x+7
U3=3x+ 2
U4=9x+ 14
Thay những trị số Un vào định thức tam nhất (1.1a) để có phương trình tam nhất sau:
(4x+5)( 2x+7) +(3x+ 2)( 9x+ 14)=(7x+7)( 5x+ 9)=0 (1.2)
=>(7x+7)=0 (1.2a)
=>(5x+ 9)=0 (1.2b)
Giãi hai kết quả nằm sau mũi tên (1.2a, 1.2b) chúng ta sẽ tìm được hai nghiệm của phương trình tam nhất là: x1= -1 ; x2=-9/5.
———–x———–
Phương trình tam nhất còn được viết dưới dạng sau:
V W U U+V+W => (V)(W)+(U)(U+V+W)=(U+V)(U+W)=0 (1.1b)
=>(U+V)=0
=>(U+W)=0
Chúng ta tạm gọi phương tam nhất, hay định thức tam nhất trên, là phương trình tam nhất được viết theo V, W, U.
2).- Phương trình Đẳng tổng:
Chúng ta tùy ý chọn bốn đại hượng U1 , U2 và U3 , U4 sao cho: U1+U2 = U3+U4, rồi lập thành định thức đẳng tổng như sau:
U1+U2 = U3+U4 => (U1)(U2) – (U3)(U4)=(U1-U3)(U2-U3)=0 (1.2)
=> (U1-U3)(U2-U3)=0
=>(U1-U3)=0 (1.2a)
=>(U2-U3)=0 (1.2b)
GIải hai kết quả ở phần sau mũi tên (1.2a, 1.2b) để tìm nghiệm của phương trình đẳng tổng.
Chúng ta tạm gọi phương đẳng tổng, hay định thức đẳng tổng , là phương trình đẳng tổng được viết theo Un.
**Soạn phương trình đẳng tổng:
Chúng ta dùng định thức đẳng tổng (1.2) dưới đây để soạn ra phương trình đẳng tổng:
(U1)(U2) – (U3)(U4)=(U1-U3)(U2-U3)=0 (1.2)
=> (U1-U3)(U2-U3)=0
=>(U1-U3)=0 (1.2a)
=>(U2-U3)=0 (1.2b)
Giãi hai kết quả nằm sau mũi tên (1.2a, 2.2b) để tìm hai nghiệm của phương trình đẳng tổng.
Thí dụ 2.1:
Trước tiên chúng ta chọn bốn nhị thức U1, U2, U3 và U4 sao cho tổng của hai nhị thức đầu bằng tổng của hai nhị thức sau U1+U2 = U3+U4:
(U1)=7x+10
(U2)=9x+8
(U3)=3x+ 7
(U4)=13x+ 11
Thay những trị số Un vào định thức đẳng tổng (1.2) để có phương trình đẳng tổng sau:
(7x+10)( 9x+8) +(3x+ 7)( 13x+ 11)=(4x+3)( 6x+ 1)=0 (2.1)
=>(4x+3)=0 (2.1a)
=>(6x+ 1)=0 (2.1b)
Giãi hai kết quả nằm sau mũi tên (2.1a, 2.1b) chúng ta sẽ tìm được hai nghiệm của phương trình đẳng tổng là: x1= -3/4 ; x2=-1/6.
Thí dụ 2.2:
Trước tiên chúng ta chọn bốn nhị thức U1, U2, U3 và U4 sao cho tổng của hai nhị thức đầu bằng tổng của hai nhị thức sau U1+U2 = U3+U4:
(U1)=8x+5
(U2)=9x+7
(U3)=5x+ 2
(U4)=12x+ 10
Thay những trị số Un vào định thức đẳng tổng (2.2) để có phương trình đẳng tổng sau:
(8x+5)( 9x+7) +(5x+ 2)( 12x+ 10)=(3x+3)( 4x+ 5)=0 (2.2)
=>(3x+3)=0 (2.2a)
=>(4x+ 5)=0 (2.2b)
Giãi hai kết quả nằm sau mũi tên (2.2a, 2.2b) chúng ta sẽ tìm được hai nghiệm của phương trình đẳng tổng là: x1=-1 và x2=-5/4
———–x———–
Phương trình đẳng tổng còn được viết dưới dạng sau:
U+V U+W U U+V+W => (U+V)(U+W) – (U)(U+V+W)=0 (1.2b)
=> VW=0
=>V=0
=>W=0
Chúng ta gọi phương trình đẳng tổng trên là phương trình đẳng tổng được viết theo V,W, U.
3).- Phương trình Đẳng hiệu:
Chúng ta chọn bốn nhị thức U1 , U2, U3 và U4 sao cho U1 , U2, U3 và U4 có quan hệ với nhau theo luật đẳng hiệu U1 – U2 = U3 – U4, để có :
U1 – U2 = U3 – U4=> (U1)(U2) – ( U3)( U4)=(U1–U3)(U1+U4)=0 (1.3)
=>(U1-U3)=0 (1.3a)
=>(U1+U4)=0 (1.3b)
Chúng ta tạm gọi phương đẳng hiệu, hay định thức đẳng hiệu (1.3) trên là phương trình đẳng hiệu được viết theo Un.
**Soạn phương trình đẳng hiệu:
Chúng ta dùng định thức đẳng hiệu sau để soạn phương trình đẳng hiệu:
U1 – U2 = U3 – U4 => (U1)(U2) – ( U3)( U4)=(U1– U3)(U1+U4)=0 (1.3)
=>(U1-U3)(U1+U4)=0
=>(U1-U2)=0
=>(U1+U4)=0
a).- Trước tiên chúng ta chọn bốn nhị thức U1, U2, U3 và U4 sao cho hiệu của hai nhị thức đầu bằng hiệu của hai nhị thức sau U1 – U2 = U3 – U4:
(U1)=9x+7
(U2)=5x+3
(U3)=7x+ 5
(U4)=3x+1
Thay những trị số Un vào định thức đẳng hiệu (1.3) để có phương trình đẳng hiệu sau:
(9x+7)( 5x+3) – (7x+ 5)( 3x+1)=(2x+2)( 12x+ 8)=0 (1.3)
=>(2x+2)=0 (1.3a)
=>(12x+ 8)=0 (1.3b)
Giãi hai kết quả nằm sau mũi tên (1.3a, 1.3b) chúng ta sẽ tìm được hai nghiệm của phương trình đẳng hệut là: x1=-1 và x2=-2/3
b).- Chúng ta lại chọn bốn nhị thức U1, U2, U3 và U4 sao cho hiệu của hai nhị thức đầu bằng hiệu của hai nhị thức sau theo Luật đẳng hiệu U1 – U2 = U3 – U4:
(U1)=12x+9
(U2)=10x+5
(U3)=9x+5
(U4)=7x+1
Thay những trị số Un vào định thức đẳng hiệu (1.3) để có phương trình đẳng hiệu sau:
(12x+9)( 10x+5) – (9x+ 5)( 7x+1)=(3x+4)( 19x+ 10)=0 (1.3)
=>(3x+4)=0 (1.3a)
=>(19x+ 10)=0 (1.3b)
Giãi hai kết quả nằm sau mũi tên (1.3a, 1.3b) chúng ta sẽ tìm được hai nghiệm của phương trình dẳng hiệu là: x1=-4/3 và x2=-10/19
———–x———–
Phương trình đẳng hiệu còn được viết dưới dạng sau:
V W V+U W+U => (V)(W) – (U+V)(U+W)=(V-W)(U+V+W)=0 (1.3b)
=>(V-W)=0
=>(U+V+W)=0
Phương trình đẳng hiệu trên là phương trình đẳng hiệu được viết theo V, W, U.
4).- Phương trình Tiêu trị:
Phương trình tiêu trị là loại phương trình hợp tích được lập thành bởi hợp tích tiêu trị.
Từ bốn khởi số sau: 4 3
3 2
Chúng ta dùng cách nhân ngang và nhân xéo để có bốn định số hợp tích tiêu trị dưới đây:
(12)(6) – (8)(9) = 0 (Gọi là tiêu trị vì bằng 0)
Chúng ta lại nhân các cấu tử của hợp tích trên với bội lượng V để có:
(12V)(6V) – (8V)(9V) = 0
Sau khi đồng gia hợp tích trên với gia lượng U thì được một hợp tích có kết quả sau khi triễn triễn khai, rút gọn là tích của gia lượng U và bội lượng V như sau:
(12V+U)(6V+U) – (8V+U)(9V+U) = 0 (1.4)
=>UV=0
=>U=0
=>V=0
**Soạn phương trình tiêu trị:
Chúng ta dùng định thức tiêu trị (1.4) dưới đây để soạn phương trình tiêu trị:
(12V+U)(6V+U) – (8V+U)(9V+U) = 0 (1.4)
=>UV=0
=>U=0
=>V=0
Chúng chọn bội lượng V=x+2, và thay V vào định thức tiêu trị (1.4) để có định thức trực soạn
sau đây:
(12x+24+U)(6x+12+U) – (8x+16+U)(9x+18+U)=0 (1.4)
=>(x+2)(U)=0
Chọn gia lượng U=x+5, rồi thay trị số của U vào định thức trực soạn (1.4):
(13x+29)(7x+17) – (9x+21)(10x+23)=0 (1.4a)
=>(x+2)(x+5)=0
Chọn gia lượng U=2x+8, rồi thay trị số của U vào định thức trực soạn (1.4):
(14x+32)(8x+20) – (10x+24)(11x+26)=0 (1.4b)
=>(x+2)(2x+8)=0
***Đặc tính đồng gia lủy nghiệm của những phương trình tiêu trị:
Nhân bài nầy Tốc soạn toán học xin trân trọng giới thiệu thêm về đặc tính đồng gia lũy nghiệm của những phương trình têu trị được soạn từ hợp tích tiêu trị.
Chúng ta lại đồng gia hai phương trình hợp tích (1.4a và 1.4b) với gia lượng U để có hai định thức trực soạn sau đây:
– Đồng gia U vào (1.4a) để có:(13x+29+U)(7x+17+U) – (9x+21+U)(10x+23+U)=0 (1.4c)
=>(x+2)(x+5+U)=0
– Dồng gia U vào (1.4b) để có:
(14x+32+U)(8x+20+U) – (10x+24+U)(11x+26+U)=0 (1.4d)
=>(x+2)(2x+8+U)=0
Nếu chúng ta chọn gia lượng U bằng bất cứ nhị thức nào hai phương trình hợp tích mới tìm được, (1.4c) và (1.4d), cũng có hai nghiệm số là:
- Nghiệm phía trước: x+2 => Bất biến
- Nghiệm phía sau: x+5+U ; 2x+8+U => Biến đổi theo cách cộng dồn
Và, chúng ta có thể dùng hai phương trình hợp tích (1.4c) và (1.4d) như hai định thức trực soạn.
Khi thay đổi gia lượng U với bất kỳ nhị thức nào chúng ta cũng được hai phương trình hợp tích bậc hai có hai nghiệm là:
- Nghiệm phía trước: x+2 => Nghiệm số bất biến
- Nghiệm phía sau: x+5+U ; 2x+8+U => Biến đổi nghiệm số theo cách cộng dồn
**Dùng phương trình tiêu trị(Hay phương trình lủy nghiệm)như định thức trực soạn:
Dưới đây là một số thí dụ làm rỏ thêm đặc tính lủy nghiệm của phương trình tiêu trị:
Đồng gia U vào (1.4a) để có:(13x+29+U)(7x+17+U) – (9x+21+U)(10x+23+U)=0 (1.4c)
=>(x+2)(x+5+U)=0
Thí dụ 1.- Dùng phương trình tiêu trị (1.4c) như một định thức trực soạn :
(13x+29+U)(7x+17+U) – (9x+21+U)(10x+23+U)=0 (1.4c)=>Tạm gọi Pt gốc
=>(x+2)(x+5+U)=0
Chọn trị số U1 và thay U1 vào (1.4c) để có phương trình hợp tích mới (1.1), rồi lại đồng gia U2 vào phương (1.1)…Cứ đồng gia năm lần như thế sẽ có năm phương trình hợp tích sau:
– Với U1=x+1: (14x+30)(8x+18) – (10x+22)(11x+24)=0 (1.1)
=>(x+2)(2x+6)=0
– Với U2=2x+3 => (16x+33)(10x+21) – (12x+25)(13x+27)=0 (1.2)
=>(x+2)(4x+9)=0
– Với U3=3x+5: (19x+38+U)(13x+26+U) – (15x+30)(16x+32)=0 (1.3)
=>(x+2)(7x+14)=0
– Với U4=3x+2: (22x+40)(16x+28) – (18x+32)(19x+34)=0 (1.4)
=>(x+2)(10x+16)=0
– Với U5=4x+1: (26x+41)20x+29) – (22x+33)(23x+35)=0 (1.5)
=>(x+2)(14x+17)=0
Thí dụ 2- Dùng phương trình tiêu trị (1.4d) như một định thức trực soạn :
(14x+32+U)(8x+20+U) – (10x+24+U)(11x+26+U)=0 (1.4d) )=>Tạm gọi Pt gốc
=>(x+2)(2x+8+U)=0
Chọn trị số U1 và thay U1 vào (1.4d) để phương trình hợp tích mới (2.1), rồi lại đồng gia U2 vào phương trình (2.1)…Cứ đồng gia năm lần như thế sẽ có năm phương trình hợp tích sau:
– Với U1=2x+1: (16x+33)(10x+21) – (12x+25)(13x+27)=0 (2.1)
=>(x+2)(4x+9)=0
– Với U2=5x+3 => (21x+36)(15x+24) – (17x+28)(18x+30)=0 (2.2)
=>(x+2)(9x+12)=0
– Với U3=3x+7: (24x+43)(18x+31) – (20x+35)(21x+37)=0 (2.3)
=>(x+2)(12x+19)=0
– Với U4=2x+5: (26x+48)(20x+36) – (22x+40)(23x+42)=0 (2.4)
=>(x+2)(14x+24)=0
– Với U5=x+6: (27x+54)21x+42) – (23x+46)(24x+48)=0 (2.5)
=>(x+2)(15x+30)=0
Cả hai thí dụ trên đều cho chúng ta thấy rõ ràng là sau năm lần đồng gia thí dụ nào cũng cho kết quả:
- Nghiệm phía trước : (x+2) => Nghiệm số bất biến
- Nghiệm phía sau : x+5+U ; 2x+8+U => Nghiệm số biến đổi theo cách cộng dồn
Trong hai bài tới Tốc sọan toán học sẽ giới thiệu phương pháp soạn phương trình tiêu trị có bội lượng V thay đổi và gia .lượng U, bội lượng U cùng thay đổi với định thức tiêu trị (1.4) sau đây:
(12V+U)(6V+U) – (8V+U)(9V+U) = 0 (1.4)
=>UV=0
———–x———–
*** Tác giả của Tocsoantoanhoc.com
. (Võ Văn Lễ (ĐTDĐ,Zalo: 0918 187 262)
——————————————————————————————————————