137(2024.20) Soạn toán bằng Luật đẳng tổng
Trong bài 034(2024), Tocsoantoanhoc.com đã gới thiệu lại ba Luật TSTH căn bản, mổi luất có một ví dụ
1).- Luật Tam nhất: Cấu tử thứ tư bằng tổng của ba cấu tử trước
(U)(V)+(W)(U+V+W)= 0 => (U+W)(V+W) = 0 (1)
Ví dụ: (3x+4)(3x+8) +(x+4)(7x+16) = 0 => (4x+8)(4x+12) – 0 (1*)
=> (4x+8) – 0 => x=-2
=> (4x+12) – 0 => x=-3
2).-Luật Đẳng tổng: Tổng của hai cấu tử của số hạng trước bằng tổng của hai cấu tử của số hạng sau
Nếu : U1 + U2 = U3 + U4
Ta có : (U1)(U2) — (U3)(U4) = 0 => (U1-U3)(U2-U3) = 0 (2)
Ví dụ: (7x+8)(5x+8) +(6x+7)(6x+9) = 0 => (x+1)(-x+1) – 0 (2*)
=>(x+1) – 0 => x = -1
=>(-x+1) – 0 => x =+1
3).-Luật Đẳng hiệu: Hiệu của hai cấu tử của số hạng trước bằng hiệu của hai cấu từ của số hạng sau
Nếu : U1 – U2 = U3 – U4,
Ta có : (U1)(U2) — (U3)(U4) = 0 => (U1-U3)(U1+U4) = 0 (3)
Ví dụ: (9x+7)(8x+5) +(6x+4)(5x+2) = 0 => (3x+3)(14x+9) – 0 (3*)
=>(3x+3) – 0 => x = -1
=>(14x+9) – 0 => x =-9/14
Nhìn vào ba luật TSTH căn bản trên chúng ta thấy cả ba luật đều có một đặc tính chung là:
Phần phía trước mũi tên được soạn đúng luật TSTH thì phần sau mũi tên sẽ cho ra kết quả khả phân
Khả phân có nghĩa là có thể phân tích thành thừa số. Cả ba trường hợp đều
có thể phân tích thành một tích có hai thừa số, vì phần trước mũi tên là hợp tích cấp 2.
Sau nầy, chúng ta sẽ thấy phần trươc mũi tên là hợp tích thuộc cấp nào thì phần sau mũi tên cũng là tích số thuộc cấp đó.
Mục đích nghiên cứu của TSTH là tùy ý chọn phần trước mũi tên sao cho phần sau mũi có thể phân tích thành thừa số, vì khi làm được như thế chúng ta mới có kết quả theo ý muốn được.
Nội dung chính của bài hôm nay là dùng Luật đẳng tổng để soạn phương trinh hợp tích từ bậc 0 đến bậc n.
Như chúng ta đã biết:
Luật Đẳng tổng: Tổng của hai cấu tử của số hạng trước bằng tổng của hai cấu tử của số hạng sau
Nếu : U1 + U2 = U3 + U4 (1)
Ta có : (U1)(U2) — (U3)(U4) = 0 => (U1-U3)(U2-U3) = 0 (2)
Luật đẳng tổng được diễn tả qua (1) và (2) trên đây
Chúng ta viết lại luật đẳng tổng dưới dạng định thức đẳng tổng trực soạn:
(U+V)(U+W) – (U)(U+V+W) = 0 => (V)(W) = 0 (1)
Định thức đẳng tổng trực soạn có phần sau mũi tên là tích của hai đại lượng V, W. Hai đại lượng nầy có thể là số đại số, nhị thức,… hay đa thức. Và đại lượng U là gia lượng dùng để đồng gia tạo ra phương. trình mới.
Chúng ta soạn thành 10 phương trình đẳng tổng sau:
1).- Phương trình hợp tích vô nghiệm:
1a).- Cho V-1, W-2 =>(5x+6)(5x+7) – (5x+5)(5x+8) – 0 => (1)(2)
=>Tích của 2 số nguyên
=> Vô nghiệm
1b).- Cho V-3, W-4 =>(5x+8)(5x+9) – (5x+5)(5x+12) – 0 => (3)(4)
=>Tích của 2 số nguyên
=> Vô nghiệm
2).- Phương trình hợp tích có một nghiệm:
2a).- Cho V-3, W-x+2 =>(5x+8)(6x+7) – (5x+5)(6x+10) – 0 => (3)(x+2)
=>3x+6= 0
=> x= -2
2b).- Cho V-x+1, W-5 =>(6x+6)(5x+10) – (5x+5)(6x+11) – 0 => (x+1)(5)
=>5x+5 = 0
=> x- -1
3).- Phương trình hợp tích có hai nghiệm hửu tỷ:
3a).- Cho V-x+2, W-x+3 =>(6x+7)(6x+8) – (5x+5)(7x+10) – 0
=> (x+2)(x+3) = 0
=> (x+2) = 0=>x = -2
=> (x+3) = 0=>x = -3
3b).- Cho V-2x+6, W-x+5 =>(7x+11)(6x+10) – (2x+0)(x+5) – 0
=> (2x+6)(x+5) = 0
=>2x+6 = 0 =>x=-3
=> x+5 = 0 =>x=-5
4).- Phương trình hợp tích bậc 2 có một nghiệm bằng 0(pt bậc 2 cụt):
4a).- Cho V- x, W- x-4 =>(6x+5)(6x+1) – (5x+5)(7x+1) – 0
=> (x)(x-4) = 0
=> (x) = 0=>x = 0
=> (x-4) = 0=>x = 4
4b).- Cho V- 2x+8, W- x =>(7x+11)(6x+10) – (2x+8)(x) – 0
=> (2x+8)(x) = 0
=>2x+8 = 0 =>x=-4
=> x = 0
5).- Phương trình hợp tích có ba nghiệm hửu tỷ:
5a).- Cho V- x+1, W- x2+5x+6
=>(4x2+6x+7)( 5x2+10x+12) – (4x2+5x+6)( 5x2+11x+13) – 0
=> (x+1)( x2+5x+6) = 0
=> (x+1) = 0=>x = -1
=> (x2+5x+6) = 0 =>x = -2
=>x = -3
5b).- Cho V= x-3, W- x2-5x+6
=>(3x2+6x+7)( 4x2+10) – (3x2+5x+4)( 4x2+x+13) – 0
=> (x-3)( x2-5x+6) = 0
=> (x-3) = 0=>x = 3
=> (x2-5x+6) = 0 =>x = 2
=>x = 3
6).- Phương trình hợp tích có bốn nghiệm hửu tỷ:
6a).- Cho V- x2+5x+4, W- x2+5x+6
=>(5x2+10x+10)( 5x2+10x+12) – (4x2+5x+6)( 6x2+5x+16) – 0
=> (x2+5x+4)( x2+5x+6) = 0
=> (x2+5x+4) = 0=>x = -1
=>x = -4
=> (x2+5x+6) = 0 =>x = -2
=>x = -3
6b).- Cho V- x2-5x+4, W- x2-5x+6
=>(5x2+10)( 5x2+12) – (4x2+5x+6)( 6x2-5x+16) – 0
=> (x2-5x+4)( x2-5x+6) = 0
=> (x2-5x+4) = 0 =>x = 1
=>x = 4
=> (x2+5x+6) = 0 =>x = 2
=>x = 3
7).- Phương trình hợp tích có ∆x = 0
7a).- Cho V- 1, W- x2+6x+9
=>(3x2+5x+8)( 4x2+11x+16) – (3x2+5x+7)( 4x2+11x+17) – 0
=>(1)(x2+6x+9)= 0
=> (x+3)2 = 0=>x = -3
7b).- Cho V= x2-8x+16, W- 1
=>(4x2-3x+20)( 3x2+5x+5) – (3x2+5x+4)( 4x2-3x+21) – 0
=> (x2-8x+16)( 1) = 0
=> (x-4)2 = 0=>x = 4
Đúng ra TSTH giới thiệu thêm cách soạn phương trình đẳng tổng bậc 5, bậc 6,…phương trình đẳng tổng trùng phương, nhưng vì không có thời gian nên đành phải kết thúc bài giới thiêu tại đây.
Định thức đẳng tống cho chúng ta thấy nó cho ra kết quả ở phần sau mũi tên là (V)(W) = 0, và V, W là hai đại lượng có thể là con số thường hay nhị thức, tam thức, đa thức đều được. Điều nầy chứng tỏ rằng bậc của phương trình đẳng tổng tùy thuộc vào bậc của hai đa thức V, W:
- Nếu V, W đồng bậc n => bậc của pt đẳng tổng là 2n
- Nếu V, W có bậc là n, m => bậc của pt đẳng tổng là n+m
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………