125(2024.08) Biến đổi một phương trình đẳng tổng bằng 11 cách khác nhau
Từ ngày 11/10/2024 đến nay, Tốcsoạntoánhọc.com đã có 22 bài viết, từ bài 118(2024) đến bài 139(2024), trực tiếp giới thiệu một số phương pháp soạn toán do Tốc Soạn Toán Học đúc kết được trong hơn 60 năm nghiên cứu một cách đơn độc.
Tác giã của công trình nghiên cứu TSTH thiển nghỉ những phương pháp soạn toán được giới thiệu trong trang toán nầy sẽ giúp các bạn yêu thích toán học, nhất là các bạn đang soạn toán để dạy, thấy rỏ là việc làm của tác giả công trình nghiên cứu và đúc kết TSTH trong hơn 60 năm qua không phải vô ích, mà rất có lợi, vì khi soạn toán bằng phương pháp TSTH người soạn toán sẽ soạn nhanh và có kết quả theo ý muốn.
Trong bài nầy, Tốc Soạn Toán Học sẽ dùng luật đẳng tổng soạn ra một phương trình đẳng tổng, rồi từ đó dùng những cách biến phương (biến đổi phương trình)
để soạn ra thêm những phương trình khác .
Theo Luật Đẳng tổng:
Nếu : U1 + U2 = U3 + U4
Ta có : (U1)(U2) — (U3)(U4) = 0
=> (U1-U3)(U2-U3) = 0 (1)
Chọn bốn nhị thức bậc nhất theo x và soạn thành phương trình đẳng tổng sau:
(8x+9)(8x+5) – (7x+4)(9x+10) = 0 => (x+5)(x+1) = 0 (pt gốc)
Dưới đây chúng ta lần lượt dùng 11 cách biến phương của Tốc Soạn Toán Học
Để soạn thành những phương trình đăng tổng sau:
1).- Dùng cách đồng gia bất biến để biến phương:
(8x+9)(8x+5) – (7x+4)(9x+10) = 0 => (x+5)(x+1) = 0 (pt gốc)
Đồng gia với các gia lượng 2x+1, x-2 và 3x+2 để biến đổi pt gốc thành những phương trình vẫn giử nguyên nghiệm như pt gốc:
2x+! => (10x+10)(10x+6) – (9x+5)(11x+11) = 0 => (x+5)(x+1) = 0 (1.1)
x-2 => (9x+7)(9x+3) – (8x+2)(10x+8) = 0 => (x+5)(x+1) = 0 (1.2)
3x+2 => (11x+11)(11x+7) – (10x+6)(12x+12) = 0 => (x+5)(x+1) = 0 (1.3)
Sau ba lần đồng gia chúng ta được ba phương trình mới có nghiệm số giống phương trình gốc nên chúng ta tạm gọi là đồng gia bất biến, hay cũng có thể gọi là đồng gia đẳng nghiệm.
2).- Dùng cách nghịch gia hai cấu tử của số hạng trước:
(8x+9)(8x+5) – (7x+4)(9x+10) = 0 => (x+5)(x+1) = 0 (pt gốc)
(U1)(U2) — (U3)(U4) = 0
Số hạng trước gồm có hai cấu tử là: U1 và U2
Dùng các gia lượng x+2, 2x+3 và 3x+1 để nghịch gia vào số hạng trước:
X+2 => (9x+11)(7x+3) – (7x+4)(9x+10) = 0 => (2x+7)(-1) = 0 (2.1)
2x+3 => (10x+12)(6x+2) – (7x+4)(9x+10) = 0 => (3x+8)(-x-2) = 0 (2.2)
3x+1 => (11x+10)(5x+4) – (7x+4)(9x+10) = 0 => (4x+6)(-2x) = 0 (2.3)
Như vậy khi nghịch gia vào số hạng trước chúng ta được ba phương trình toàn biến, tức là cả hai nghiệm đều biến đổi.
3).- Dùng cách nghịch gia hai cấu tử của số hạng sau:
(U1)(U2) — (U3)(U4) = 0
Số hạng sau gồm có hai cấu tử là: U3 và U4.
(8x+9)(8x+5) – (7x+4)(9x+10) = 0 => (x+5)(x+1) = 0 (pt gốc)
Dùng các gia lượng x+2, 2x+3 và 3x+1 để nghịch gia vào số hạng sau:
X+2 => (8x+9)(8x+5) – (8x+6)(8x+8) = 0 => (3)(-1) = 0 (3.1)
2x+3 => (10x+12)(6x+2) – (9x+7)(7x+7) = 0 => (x+5)(-3x-5) = 0 (3.2)
3x+1 => (11x+10)(5x+4) – (10x+5)(6x+9) = 0 => (x+5)(-5x-1) = 0 (3.3)
Như vậy khi nghịch gia vào số hạng trước chúng ta được ba phương trình toàn biến, tức là tất cả hai nghiệm đều biến đổi.
4).- Dùng cách đồng gia hai cấu tử trước của hai số hạng:
(U1)(U2) — (U3)(U4) = 0
Hai cấu tử trước của hai số hạng là: (U1) và (U3)
(8x+9)(8x+5) – (7x+4)(9x+10) = 0 => (x+5)(x+1) = 0 (pt gốc)
Dùng gia lượng 2x-1, x+4 và 5x-3 đồng gia hai cấu tử trước của hai số hạng :
2x-1 =>(10x+8)(8x+5) – (9x+3)(9x+10) = 0 => (x+5)(-x+2) = 0 (4.1)
x+4 =>(9x+13)(8x+5) – (8x+8)(9x+10) = 0 => (x+5)(-3) = 0 (4.2)
5x-3=>(13x+6)(8x+5) – (12x+1)(9x+10) = 0 => (x+5)(-4x+4) = 0 (4.3)
Sau khi đồng gia hai cấu tử trước của hai số hạng hung ta thấy các nghiệm số trước không thay đổi,chỉ thay đổi các nghiệm số sau.
5).- Dùng cách đồng gia hai cấu tử sau của hai số hạng:
(U1)(U2) — (U3)(U4) = 0
Hai cấu tử sau của hai số hạng là: (U2) và (U4).
(8x+9)(8x+5) – (7x+4)(9x+10) = 0 => (x+5)(x+1) = 0 (pt gốc)
Dùng gia lượng 2x+3, 3x+4 và 4x-3 đồng gia hai cấu tử sau của hai số hạng:
2x+3=>(8x+9)(10x+8) – (7x+4)(11x+13) = 0 => (x+5)(3x+4) = 0 (5.1)
3x+4=>(8x+9)(11x+9) – (7x+4)(12x+14) = 0 => (x+5)(4x+5) = 0 (5.2)
4x-3=>(8x+9)(12x+2) – (7x+4)(13x+7) = 0 => (x+5)(5x-2) = 0 (5.3)
Sau khi đồng gia hai cấu tử sau của hai số hạng chúng ta thấy các nghiệm số trước không thay đổi, chỉ thay đổi các nghiệm số sau.
6).- Dùng cách đồng gia hai cấu tử trước của hai số hạng:
(U1)(U2) — (U3)(U4) = 0
Hai cấu tử trước của hai số hạng là: (U1) và (U3)
(8x+9)(8x+5) – (7x+4)(9x+10) = 0 => (x+5)(x+1) = 0 (pt gốc)
Dùng gia lượng 2x-1, x+4 và 5x-3 đồng gia hai cấu tử trước:
2x-1 =>(10x+8)(8x+5) – (9x+3)(9x+10) = 0 => (x+5)(-x+2) = 0 (6.1)
x+4 =>(9x+13)(8x+5) – (8x+8)(9x+10) = 0 => (x+5)(-3) = 0 (6.2)
5x-3=>(13x+6)(8x+5) – (12x+1)(9x+10) = 0 => (x+5)(-4x+4) = 0 (6.3)
Cả ba phương trình mới đều có nghiệm số trước được giử nguyên, chỉ có nghiệm số sau thay đổi.
7).- Dùng cách đồng gia hai biên tử ( cấu tử nằm bên ngoài):
(U1)(U2) — (U3)(U4) = 0
Hai biên tử của hai số hạng là: (U1) và (U4)
(8x+9)(8x+5) – (7x+4)(9x+10) = 0 => (x+5)(x+1) = 0 (pt gốc)
Dùng gia lượng 2x+3, x+2 và 4x-1 đồng gia hai biên tử của hai số hạng:
2x+3 =>(10x+12)(8x+5) – (7x+4)(11x+13) = 0 => (3x+8)(x+1) = 0 (7.1)
x+2 =>(9x+11)(8x+5) – (7x+4)(10x+12) = 0 => (2x+4)(x+1) = 0 (7.2)
4x-1=>(12x+8)(8x+5) – (7x+4)(13x+9) = 0 => (5x+4)(x+1) = 0 (7.3)
Cả ba phương trình mới đều thay đổi nghiệm trước, không thay đổi nghiệm sau.
8).- Dùng cách đồng gia hai trung tử ( cấu tử nằm bên trong):
(U1)(U2) — (U3)(U4) = 0
Hai trung tử của hai số hạng là: (U2) và (U3)
(8x+9)(8x+5) – (7x+4)(9x+10) = 0 => (x+5)(x+1) = 0 (pt gốc)
Dùng gia lượng x+3, 2x+1 và x+1 đồng gia hai trung tử của hai số hạng:
x+3 =>(8x+9)(9x+8) – (8x+7)(9x+10) = 0 => (2)(x+1) = 0 (8.1)
2x+1 =>(8x+9)(10x+6) – (9x+5)(9x+10) = 0 => (-x+4)(x+1) = 0 (8.2)
x+1=>(8x+9)(9x+6) – (8x+5)(9x+10) = 0 => (4)(x+1) = 0 (8.3)
Cả ba phương trình mới đều thay đổi nghiệm trước, không thay đổi nghiệm sau.
9).- Dùng cách hiệp thừa để có phương trình đẳng nghiệm :
(8x+9)(8x+5) – (7x+4)(9x+10) = 0 => (x+5)(x+1) = 0 (pt gốc)
U1 U2 U3 U4 Hiệp thừa: ( U3 => U2, U1 => U4)
(8x+9)(15x+9) – (7x+4)(17x+19) = 0 => (x+5)(x+1) = 0 (9.1)
(8x+9)(22x+13) – (7x+4)(25x+28) = 0 => (x+5)(x+1) = 0 (9.2)
.(8x+9)(29x+17) – (7x+4)(33x+37) = 0 => (x+5)(x+1) = 0 (9.3)
Sau khi hiệp thừa, cả ba phương trình mới đều cho kết quả giống với kết quả của
phương trình gốc, ta tạm goi những phương trình mới là phương trình đẳng nghiệm với phương trình gốc.
10).- Dùng cách hiệp hệ để có phương trình gia nghiệm, đồng căn :
(8x+9)(8x+5) – (7x+4)(9x+10) = 0 => (x+5)(x+1) = 0 (pt gốc)
- x2+6x+5 = 0 => ∆x = 16
Cho nhị thức ax+b và ax+a+b, ax+2a+b, ax+3a+b,…
Việc cộng nhập hệ số a vào hệ số b được TSTH tạm gọi là hiệp hệ.
Thưc hiện việc hiệp hệ ba lần thì được:
(8x+17)(8x+13) – (7x+11)(9x+19) = 0 => (x+6)(x+2) = 0 (10.1)
- x2+8x+12 = 0 => ∆x = 16
(8x+25)(8x+21) – (7x+18)(9x+28) = 0 => (x+7)(x+3) = 0 (10.2)
- x2+10x+21 = 0 => ∆x = 16
(8x+33)(8x+29) – (7x+25)(9x+37) = 0 => (x+8)(x+4) = 0 (10.3)
- x2+12x+32 = 0 => ∆x = 16
Sau ba lần hiệp hệ chúng ta được ba phương trình gia nghiệm có cùng căn số với pt gốc: (∆x = 16), mổi lần hiệp hệ nghiệm số được cộng thêm đơn vị .
11).- Dùng cách bội hệ để có phương trình bội nghiệm, bội căn :
(8x+9)(8x+5) – (7x+4)(9x+10) = 0 => (x+5)(x+1) = 0 (pt gốc)
Cho nhị thức ax+b và ax+2b, ax+3b, ax+4b,…
Việc nhân hệ số b với một số nào đó được TSTH tạm gọi là bội hệ.
Thưc hiện việc bội hệ ba lần thì được:
(8x+18)(8x+10) – (7x+8)(9x+20) = 0 => (x+10)(x+2) = 0 (11.1)
- x2+12x+20 = 0 => ∆x = 04=82
(8x+36)(8x+20) – (7x+16)(9x+40) = 0 => (x+20)(x+4) = 0 (11.2)
- x2+24x+80 = 0 => ∆x = 256=162
(8x+72)(8x+40) – (7x+32)(9x+80) = 0 => (x+40)(x+8) = 0 (11.3)
- x2+48x+320 = 0 => ∆x = 1024=322
Sau mổi lần bội hệ chúng ta được một phương trình mới bội hệ, bội căn so với phương trình gốc.
Các bạn nên xem kỷ lại những bài TSTH có liên quan (001=>022) để hiểu rõ hơn nội dung bài nầy.
Còn nhiều cách biến phương khác nữa nhưng bài viết đã quá dài nên TSTH xin hẹn lại sẽ giới thiệu sau những cách biến phương khác.
……………………………………………………………………………………………………………………………