136(2024) Soạn tam thức bậc 2 chứa tham số m bằng định số TSTH
Chúng ta tạm gọi Định số TSTH là một nhóm số gồm 1, 2,…hay nhiều số được tạo thành bởi một cách nào đó, dùng để soạn toán.
Định số TSTH còn được dùng để thiết lập những định thức TSTH, tức những công thức soạn toán, chẳng hạn như định thức soạn tam thúc bậc 2 chứa` tham số m.
Như chúng ta đã biết tam thức bậc 2 chứa tham số m có dạng thức tổng quát là:
Ux2+Vx+W=0 ,trong đó U,V,W là nhị thức bậc nhất theo m
Trong thực tế soạn toán, nếu muốn soan tam thức bậc 2 trên sao cho biệt số ∆m là số chính phương để có hai nghiệm số m hửu tỷ là việc làm rất khó.
Nhằm giải quyết khó khăn trên, TSTH tạm dùng cách cho trước hai nhị thức U, V, rồi dùng định số trực soạn tam thức bậc 2 (3, 1) để tính W, cụ thể như là:
Ux2+Vx+3U+V = 0 (A1) => ∆x = V2 – 4U(3U+V) = V2 – 4UV-12U2
=> ∆’m = 16 = 42
Thay U,V bằng các nhị thức theo m,và dùng định số (3,1) để tính W:
(3m+4)x2 + (7m+9)x + 16m+21 = 0 => ∆x =143x2+382x+255
=> ∆’m = 64 = 82
Vì ∆’m là số chính phương nên hai nghiệm m1, m2 của tam thức là số hửu tỷ.
Trên đây TSTH vùa dùng cặp định số 3, 1 để lập thành cấu tử thứ ba (W) từ hai cấu tử U, V được cho trước.
Hiện TSTH đã tìm được một phương pháp tổng quát để thiết lập ra hàng trăm, hàng ngàn,… cặp định số khác nữa; Cụ thể như: (15, 1), (15,7), (12, 2), (21, 2),…
TSTH chưa trực tiếp giới thiệu phương pháp tổng quát thiết lập những cặp định số dùng soạn tam thức bậc 2 chứa tham số m, nhưng gợi ý hai việc nầy:
- (a, b) => a+b2 phải là số chính phương.
(15, 1) => 15 + 1 = 16 = 42
(15, 7) => 15 + 49 = 64 = 82
(12, 2) => 12 + 4 = 16 = 42
(21, 2) => 21 + 4 = 25 = 52
- (cm+d)x2 + (em+f)x + a(cm+d) + b(em+f) = 0, với cf-de = 1, để ∆’m nhỏ nhất.
Từ bốn cặp định số trên chúng ta lập thành bốn tạm thức sau:
Ux2 + Vx + 15U + V (A2) => (4m+5)x2 + (9m+11)x + 69m+86 =0 (2)
Ux2 + Vx + 15U + 7V (A3) => (4m+5)x2 + (9m+11)x + 123m+152 =0 (3)
Ux2 + Vx + 12U + 2V (A4) => (4m+5)x2 + (9m+11)x + 66m+82 =0 (4)
Ux2 + Vx + 21U + 2V (A5) => (4m+5)x2 + (9m+11)x + 102m+127 =0 (5)
………………………………………………………………………………………………………